Решаем с помощью пропорций

   Продолжая тему  пропорций, рассмотрим типы заданий, которые можно легко решить с их помощью.



Чаще всего с помощью пропорций решают

Задачи на проценты

     При решении любого типа задач на проценты нам необходимо установить соответствие между количеством процентов и количеством чего-либо (машин, деталей, штук, ...), того о чем идет речь в задаче. Проще всего это сделать с помощью пропорций. Важно только еще правильно определить, что принимается за 100%. Покажем это на примерах.

Задача 1

Найдите, сколько процентов составляет число 15 от 125.

     Решение. Число 15 от 125 составляет неизвестное число процентов, которое нам надо определить, поэтому обозначим его за х процентов. Число 125 примем за 100 процентов. Можем записать:

                             15   ---    х%

                           125   ---   100%.

                             Из пропорции

находим х:

     Ответ: число 15 от числа 125 составляет 12%

Задача 2

В доме 160 двухкомнатных и 240 трехкомнатных квартир. Сколько процентов от всех квартир составляют трехкомнатные?

     Решение. Всего в доме 160 + 240 = 400 квартир. Пусть х% из них трехкомнатные. Тогда

                                                                           100%     ---    400

                                                                            х%        ---    240

Находя по правилу креста неизвестный член пропорции получим 

     Ответ: Трехкомнатные квартиры составляют 60% от всех квартир.

Задача 3

Когда  рабочий сделал 2484 детали, то оказалось, что он выполнил 46% месячной нормы. Сколько деталей составляет месячная норма рабочего?

     Решение. Пусть месячная норма  составляет х деталей. Тогда

                                             2484 деталей    ---     46%

                                               х  деталей      ---    100%

                  Из пропорции  

находим х

     Ответ: 5400 деталей - месячная норма рабочего.

    Теперь попробуйте сами находить с помощью тренажера неизвестное число процентов, используя пропорции

     
    Порешать задачи и проверить, как вы усвоили данную тему, можно с помощью интерактивных тестов 

При выполнении расчетов необходимо, чтобы все величины были выражены в одинаковых единицах. При помощи пропорций решают 

Задачи на перевод одних единиц измерения в другие

Задача 1

Переведите 6 минут в часы. 

     Решение. Мы знаем, что в одном часе 60 минут. Обозначим через х часов 6 минут. Значит,

                                     1 час       ---     60 минут

                                     х часов   ---     6 минут

Записываем пропорцию    

и находим по правилу креста неизвестный член пропорции

     Ответ: 6 минут составляют 0,1 часа

Задача 2

Путешественники проехали 48 километров. Узнайте, сколько миль они проехали, если одна миля, это 1,6 км.

      Решение. 48 км составляют х миль, а 

                 1,6 км         ---        1 милю.

Составляем и решаем пропорцию:

;

     Ответ: 30 миль

Задача 3

Перевести 20 градусов в радианную меру, а 4/5p радиан - в градусы.

     Решение. Помним, что 180 градусов соствляют p радиан. Записываем и решаем пропорции

                              20°       ---     х радиан  
                              180°     ---     p радиан   Тогда,            

;   →

Для второго задания        180°    ---     p радиан        
                                                х°       --     4/5 p радиа  Получаем:            

;     →

Ответ: 20° =p/9 радиан; 4/5p радиан = 144°

   При рассмотрении количественной стороны различных процессов мы почти всегда наблюдаем, что переменные величины зависят друг от друга. Так, высота растущего дерева зависит от многих переменных — от солнечного освещения, от влажности, от количества питательных веществ в почве и т. д. Математики обычно записывают эти зависимости с помощью формул и нередко возникает 

Задача выразить из формулы одни переменные через другие

В этом случае нам на помощь снова может придти пропорция. Давайте рассмотрим это на примерах.

Задача 1.

Из формулы S = pr выразите переменную r (все величины положительны).

       Решение. Запишем наше выражение S = pr в виде пропорции:    

Для того, чтобы найти переменную r, мы по правилу креста, перемещаем стоящий, рядом с ней сомножитель p влево вниз и получим 

     Ответ: r = S/p

Задача 2. 

Из формулы      выразите переменную a (все величины положительны).
     Решение. Запишем исходное выражение в виде пропорции

и найдем неизвестный член по правилу креста, перемещая стоящие рядом с a сомножители влево вниз, а нижние крайние члены пропорции 4R влево вверх. Получим Ответ: 

     Попробуйте теперь сами поработать с тренажером, выражая с помощью пропорций нужные величины из приведенных формул

Тест решения пропорций. Найдите неизвестный член.