Тайна неизвестного. Решаем линейные уравнения

    Сегодня вам предстоит выступить в роли детектива и распутать дерзкое преступление. Внимательно изучите алгоритм решения и приступайте к поиску пропавшего бриллианта. Четверо подозреваемых. Семь улик. Будьте внимательны и не торопитесь. Надеюсь, дело будет раскрыто!

Деление многочлена на многочлен в столбик (уголком) Теория и тренажер.

При решении уравнений и неравенств иногда требуется разложить многочлен на множители. Часто это удается сделать разделив один многочлен на другой. Деление многочленов происходит аналогично делению многозначных чисел. Разберемся, как выполняется это действие, применяя алгоритм постепенно, по шагам. Покажем это на конкретном примере. Разделим многочлен

${\displaystyle x^4+x^3+2x^2-x+3}$ на многочлен ${\displaystyle x^2+2x+3}$ в столбик.

Шаг 1. Деление многочлена  

1. Выбираем одночлен старшей степени в записи многочлена ${\displaystyle x^4+x^3+2x^2-x+3,}$ это одночлен ${\displaystyle x^4\mathrm{.}}$Одночлен старшей степени у делителя 

${\displaystyle x^2+2x+3}$ – это одночлен ${\displaystyle x^2\mathrm{.}}$

2. Делим одночлен 

${\displaystyle x^4}$ на одночлен ${\displaystyle x^2:}$

${\displaystyle \frac{x^4}{x^2}=x^2\mathrm{.}}$

2. Записываем результат деления как первое слагаемое частного: 

$x^4+x^3+2x^2-x+3$									${\displaystyle x^2+2x+3}$
									${\displaystyle x^2?}$

${\displaystyle -}$	${\displaystyle x^4+\phantom{\mathrm{}}{x}^3+2x^2-x+3}$									${\displaystyle x^2+2x+3}$
	${\displaystyle x^4+2x^3+3x^2}$									${\displaystyle x^2?}$
	${\displaystyle -x^3-\phantom{\mathrm{}}{x}^2-x+3}$

Получаем многочлен ${\displaystyle -x^3-x^2-x+3\mathrm{.}}$

 Шаг 2. Деление многочлена

                                        −x3−x2−x+3.

1. Выбираем одночлен старшей степени в записи многочлена ${\displaystyle -x^3-x^2-x+3,}$ это ${\displaystyle -x^3\mathrm{.}}$

2. Делим одночлен ${\displaystyle -x^3}$ на одночлен ${\displaystyle x^2:}$

${\displaystyle \frac{-x^3}{x^2}=-x\mathrm{.}}$

Записываем результат как второе слагаемое частного:

${\displaystyle -}$	${\displaystyle x^4+\phantom{\mathrm{}}{x}^3+2x^2-x+3}$									${\displaystyle x^2+2x+3}$
	${\displaystyle x^4+2x^3+3x^2}$									${\displaystyle x^2-x?}$
	${\displaystyle -x^3-\phantom{\mathrm{}}{x}^2-x+3}$

3. Вычитаем в столбик из многочлена 

${\displaystyle -x^3-x^2-x+3}$ произведение ${\displaystyle -x\cdot (x^2+2x+3)=-x^3-2x^2-3x:}$

${\displaystyle -}$	${\displaystyle x^4+\phantom{\mathrm{}}{x}^3+2x^2-x+3}$									${\displaystyle x^2+2x+3}$
	${\displaystyle x^4+2x^3+3x^2}$									${\displaystyle x^2-x?}$
	${\displaystyle \phantom{}-}$	${\displaystyle -x^3-\phantom{\mathrm{}}{x}^2-x+3}$
		${\displaystyle -x^3-2x^2-3x}$
	${\displaystyle x^2+2x+3}$

Получаем ${\displaystyle x^2+2x+3\mathrm{.}}$

Шаг 3. Деление многочлена                                                  

                                                x2+2x+3

1. Выбираем одночлен старшей степени в записи многочлена

${\displaystyle x^2+2x+3,}$ это ${\displaystyle x^2\mathrm{.}}$

2. Делим одночлен ${\displaystyle x^2}$ на одночлен ${\displaystyle x^2:}$

${\displaystyle \frac{x^2}{x^2}=1\mathrm{.}}$

Записываем результат как третье слагаемое частного со знаком ${\displaystyle \mathrm{\"}+\mathrm{\"}:}$

${\displaystyle -}$	${\displaystyle x^4+\phantom{\mathrm{}}{x}^3+2x^2-x+3}$									${\displaystyle x^2+2x+3}$
	${\displaystyle x^4+2x^3+3x^2}$									${\displaystyle x^2-x+1}$
	${\displaystyle \phantom{}-}$	${\displaystyle -x^3-\phantom{\mathrm{}}{x}^2-x+3}$
		${\displaystyle -x^3-2x^2-3x}$
	${\displaystyle x^2+2x+3}$

3. Вычитаем в столбик из многочлена ${\displaystyle x^2+2x+3}$ многочлен ${\displaystyle 1\cdot (x^2+2x+3)=x^2+2x+3:}$

${\displaystyle -}$	${\displaystyle x^4+\phantom{\mathrm{}}{x}^3+2x^2-x+3}$									${\displaystyle x^2+2x+3}$
	${\displaystyle x^4+2x^3+3x^2}$									${\displaystyle x^2-x+1}$
	${\displaystyle \phantom{}-}$	${\displaystyle -x^3-\phantom{\mathrm{}}{x}^2-x+3}$
		${\displaystyle -x^3-2x^2-3x}$
				${\displaystyle \phantom{{}^{\mathrm{}}}-}$		${\displaystyle x^2+2x+3}$
						${\displaystyle x^2+2x+3}$
	${\displaystyle 0}$

В итоге получаем 0, процесс деления закончен. 

${\displaystyle 0,}$ 

Таким образом,

${\displaystyle -}$	${\displaystyle x^4+\phantom{\mathrm{}}{x}^3+2x^2-x+3}$									${\displaystyle x^2+2x+3}$
	${\displaystyle x^4+2x^3+3x^2}$									${\displaystyle x^2-x+1}$
	${\displaystyle \phantom{}-}$	${\displaystyle -x^3-\phantom{\mathrm{}}{x}^2-x+3}$
		${\displaystyle -x^3-2x^2-3x}$
				${\displaystyle \phantom{{}^{\mathrm{}}}-}$		${\displaystyle x^2+2x+3}$
						${\displaystyle x^2+2x+3}$
	${\displaystyle 0}$

${\displaystyle x^4+x^3+2x^2-x+3=(x^2+2x+3)\cdot \left({\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}-\mathbf{x}+\mathbf{1}\right)\mathrm{.}}$

    Чтобы отработать этот очень полезный навык, предлагаю вам поработать с тренажерами. 

$В\; каждом\; из\; них\; по\; 5\; примеров\; на\; деление\; (три\; -\; деление\; без\; остатка\; и\; два\; -\; деление\; с\; остатком.$

В первом тренажере делитель - двучлен, а во втором - трехчлен.