Каждое слово на счету — тренажёр по стереометрии для 10 класса

     В стереометрии нет «примерно» — только точно. Одно пропущенное слово превращает верную теорему в ложное утверждение. Знакомо чувство, когда вроде бы знаешь теорему, но на контрольной теряешь балл из-за какой-то мелочи? «Не лежащие на одной прямой», «и притом только одна», «не лежащая в плоскости» — эти слова кажутся неважными, пока не поймёшь, что без них всё рушится. Этот тренажёр учит замечать именно такие «мелочи».

🎮 Как это работает? Игра состоит из двух раундов + бонусного реванша:

🧩 Раунд 1: «Собери формулировку»

Вам предстоит собрать точную формулировку аксиомы или теоремы из кусочков-пазлов. Балл засчитывается только при сборке с первой попытки, поэтому вдумчиво расставляйте каждое слово на своё место.

🔎 Раунд 2: «Найди ошибку»

Теперь нужно найти ошибку в уже готовой формулировке. Пропущено условие? Заменено ключевое слово? Три варианта ответа — но только один объясняет, в чём подвох.

🎯 Реванш
В конце игры появляется предложение: «А теперь попробуй собрать формулировки, в которых ошибся — без подсказок!» Это шанс закрепить именно те места, где были пробелы.

📚 Темы тренажёра

• Аксиомы стереометрии А₁, А₂, А₃
• Следствия из аксиом
• Параллельные прямые в пространстве (и отличие от скрещивающихся)
• Параллельность прямой и плоскости: определение, признак, теорема о пересечении
• Теорема о единственной параллельной прямой через точку

Максимум баллов: 16. Минимум скуки: 🎉

Решаем уравнение по шагам

     Прежде чем приступить к любому серьезному делу, необходимо пройти подготовку. Вот и мы сегодня будем учиться решать уравнение. отрабатывая необходимые действия шаг за шагом

Тайна неизвестного. Решаем линейные уравнения

    Сегодня вам предстоит выступить в роли детектива и распутать дерзкое преступление. Внимательно изучите алгоритм решения и приступайте к поиску пропавшего бриллианта. Четверо подозреваемых. Семь улик. Будьте внимательны и не торопитесь. Надеюсь, дело будет раскрыто!

Деление многочлена на многочлен в столбик (уголком) Теория и тренажер.

При решении уравнений и неравенств иногда требуется разложить многочлен на множители. Часто это удается сделать разделив один многочлен на другой. Деление многочленов происходит аналогично делению многозначных чисел. Разберемся, как выполняется это действие, применяя алгоритм постепенно, по шагам. Покажем это на конкретном примере. Разделим многочлен

${\displaystyle x^4+x^3+2x^2-x+3}$ на многочлен ${\displaystyle x^2+2x+3}$ в столбик.

Шаг 1. Деление многочлена  

1. Выбираем одночлен старшей степени в записи многочлена ${\displaystyle x^4+x^3+2x^2-x+3,}$ это одночлен ${\displaystyle x^4\mathrm{.}}$Одночлен старшей степени у делителя 

${\displaystyle x^2+2x+3}$ – это одночлен ${\displaystyle x^2\mathrm{.}}$

2. Делим одночлен 

${\displaystyle x^4}$ на одночлен ${\displaystyle x^2:}$

${\displaystyle \frac{x^4}{x^2}=x^2\mathrm{.}}$

2. Записываем результат деления как первое слагаемое частного: 

$x^4+x^3+2x^2-x+3$									${\displaystyle x^2+2x+3}$
									${\displaystyle x^2?}$

${\displaystyle -}$	${\displaystyle x^4+\phantom{\mathrm{}}{x}^3+2x^2-x+3}$									${\displaystyle x^2+2x+3}$
	${\displaystyle x^4+2x^3+3x^2}$									${\displaystyle x^2?}$
	${\displaystyle -x^3-\phantom{\mathrm{}}{x}^2-x+3}$

Получаем многочлен ${\displaystyle -x^3-x^2-x+3\mathrm{.}}$

 Шаг 2. Деление многочлена

                                        −x3−x2−x+3.

1. Выбираем одночлен старшей степени в записи многочлена ${\displaystyle -x^3-x^2-x+3,}$ это ${\displaystyle -x^3\mathrm{.}}$

2. Делим одночлен ${\displaystyle -x^3}$ на одночлен ${\displaystyle x^2:}$

${\displaystyle \frac{-x^3}{x^2}=-x\mathrm{.}}$

Записываем результат как второе слагаемое частного:

${\displaystyle -}$	${\displaystyle x^4+\phantom{\mathrm{}}{x}^3+2x^2-x+3}$									${\displaystyle x^2+2x+3}$
	${\displaystyle x^4+2x^3+3x^2}$									${\displaystyle x^2-x?}$
	${\displaystyle -x^3-\phantom{\mathrm{}}{x}^2-x+3}$

3. Вычитаем в столбик из многочлена 

${\displaystyle -x^3-x^2-x+3}$ произведение ${\displaystyle -x\cdot (x^2+2x+3)=-x^3-2x^2-3x:}$

${\displaystyle -}$	${\displaystyle x^4+\phantom{\mathrm{}}{x}^3+2x^2-x+3}$									${\displaystyle x^2+2x+3}$
	${\displaystyle x^4+2x^3+3x^2}$									${\displaystyle x^2-x?}$
	${\displaystyle \phantom{}-}$	${\displaystyle -x^3-\phantom{\mathrm{}}{x}^2-x+3}$
		${\displaystyle -x^3-2x^2-3x}$
	${\displaystyle x^2+2x+3}$

Получаем ${\displaystyle x^2+2x+3\mathrm{.}}$

Шаг 3. Деление многочлена                                                  

                                                x2+2x+3

1. Выбираем одночлен старшей степени в записи многочлена

${\displaystyle x^2+2x+3,}$ это ${\displaystyle x^2\mathrm{.}}$

2. Делим одночлен ${\displaystyle x^2}$ на одночлен ${\displaystyle x^2:}$

${\displaystyle \frac{x^2}{x^2}=1\mathrm{.}}$

Записываем результат как третье слагаемое частного со знаком ${\displaystyle \mathrm{\"}+\mathrm{\"}:}$

${\displaystyle -}$	${\displaystyle x^4+\phantom{\mathrm{}}{x}^3+2x^2-x+3}$									${\displaystyle x^2+2x+3}$
	${\displaystyle x^4+2x^3+3x^2}$									${\displaystyle x^2-x+1}$
	${\displaystyle \phantom{}-}$	${\displaystyle -x^3-\phantom{\mathrm{}}{x}^2-x+3}$
		${\displaystyle -x^3-2x^2-3x}$
	${\displaystyle x^2+2x+3}$

3. Вычитаем в столбик из многочлена ${\displaystyle x^2+2x+3}$ многочлен ${\displaystyle 1\cdot (x^2+2x+3)=x^2+2x+3:}$

${\displaystyle -}$	${\displaystyle x^4+\phantom{\mathrm{}}{x}^3+2x^2-x+3}$									${\displaystyle x^2+2x+3}$
	${\displaystyle x^4+2x^3+3x^2}$									${\displaystyle x^2-x+1}$
	${\displaystyle \phantom{}-}$	${\displaystyle -x^3-\phantom{\mathrm{}}{x}^2-x+3}$
		${\displaystyle -x^3-2x^2-3x}$
				${\displaystyle \phantom{{}^{\mathrm{}}}-}$		${\displaystyle x^2+2x+3}$
						${\displaystyle x^2+2x+3}$
	${\displaystyle 0}$

В итоге получаем 0, процесс деления закончен. 

${\displaystyle 0,}$ 

Таким образом,

${\displaystyle -}$	${\displaystyle x^4+\phantom{\mathrm{}}{x}^3+2x^2-x+3}$									${\displaystyle x^2+2x+3}$
	${\displaystyle x^4+2x^3+3x^2}$									${\displaystyle x^2-x+1}$
	${\displaystyle \phantom{}-}$	${\displaystyle -x^3-\phantom{\mathrm{}}{x}^2-x+3}$
		${\displaystyle -x^3-2x^2-3x}$
				${\displaystyle \phantom{{}^{\mathrm{}}}-}$		${\displaystyle x^2+2x+3}$
						${\displaystyle x^2+2x+3}$
	${\displaystyle 0}$

${\displaystyle x^4+x^3+2x^2-x+3=(x^2+2x+3)\cdot \left({\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}-\mathbf{x}+\mathbf{1}\right)\mathrm{.}}$

    Чтобы отработать этот очень полезный навык, предлагаю вам поработать с тренажерами. 

$В\; каждом\; из\; них\; по\; 5\; примеров\; на\; деление\; (три\; -\; деление\; без\; остатка\; и\; два\; -\; деление\; с\; остатком.$

В первом тренажере делитель - двучлен, а во втором - трехчлен.