Деление многочлена на многочлен в столбик (уголком) Теория и тренажер.

Деление многочленов происходит аналогично делению многозначных чисел. Выполним это действие постепенно по шагам. Разберем пример. Разделим многочлен

${\displaystyle x^4+x^3+2x^2-x+3}$ на многочлен ${\displaystyle x^2+2x+3}$ в столбик.

Шаг 1. Деление многочлена  

1. Выбираем одночлен старшей степени в записи многочлена ${\displaystyle x^4+x^3+2x^2-x+3,}$ это одночлен ${\displaystyle x^4\mathrm{.}}$Одночлен старшей степени у делителя 

${\displaystyle x^2+2x+3}$ – это одночлен ${\displaystyle x^2\mathrm{.}}$

2. Делим одночлен 

${\displaystyle x^4}$ на одночлен ${\displaystyle x^2:}$

${\displaystyle \frac{x^4}{x^2}=x^2\mathrm{.}}$

2. Записываем результат деления как первое слагаемое частного: 

$x^4+x^3+2x^2-x+3$									${\displaystyle x^2+2x+3}$
									${\displaystyle x^2?}$

${\displaystyle -}$	${\displaystyle x^4+\phantom{\mathrm{}}{x}^3+2x^2-x+3}$									${\displaystyle x^2+2x+3}$
	${\displaystyle x^4+2x^3+3x^2}$									${\displaystyle x^2?}$
	${\displaystyle -x^3-\phantom{\mathrm{}}{x}^2-x+3}$

Получаем многочлен ${\displaystyle -x^3-x^2-x+3\mathrm{.}}$

 Шаг 2. Деление многочлена

                                        −x3−x2−x+3.

1. Выбираем одночлен старшей степени в записи многочлена ${\displaystyle -x^3-x^2-x+3,}$ это ${\displaystyle -x^3\mathrm{.}}$

2. Делим одночлен ${\displaystyle -x^3}$ на одночлен ${\displaystyle x^2:}$

${\displaystyle \frac{-x^3}{x^2}=-x\mathrm{.}}$

Записываем результат как второе слагаемое частного:

${\displaystyle -}$	${\displaystyle x^4+\phantom{\mathrm{}}{x}^3+2x^2-x+3}$									${\displaystyle x^2+2x+3}$
	${\displaystyle x^4+2x^3+3x^2}$									${\displaystyle x^2-x?}$
	${\displaystyle -x^3-\phantom{\mathrm{}}{x}^2-x+3}$

3. Вычитаем в столбик из многочлена 

${\displaystyle -x^3-x^2-x+3}$ произведение ${\displaystyle -x\cdot (x^2+2x+3)=-x^3-2x^2-3x:}$

${\displaystyle -}$	${\displaystyle x^4+\phantom{\mathrm{}}{x}^3+2x^2-x+3}$									${\displaystyle x^2+2x+3}$
	${\displaystyle x^4+2x^3+3x^2}$									${\displaystyle x^2-x?}$
	${\displaystyle \phantom{}-}$	${\displaystyle -x^3-\phantom{\mathrm{}}{x}^2-x+3}$
		${\displaystyle -x^3-2x^2-3x}$
	${\displaystyle x^2+2x+3}$

Получаем ${\displaystyle x^2+2x+3\mathrm{.}}$

Шаг 3. Деление многочлена                                                  

                                                x2+2x+3

1. Выбираем одночлен старшей степени в записи многочлена

${\displaystyle x^2+2x+3,}$ это ${\displaystyle x^2\mathrm{.}}$

2. Делим одночлен ${\displaystyle x^2}$ на одночлен ${\displaystyle x^2:}$

${\displaystyle \frac{x^2}{x^2}=1\mathrm{.}}$

Записываем результат как третье слагаемое частного со знаком ${\displaystyle \mathrm{\"}+\mathrm{\"}:}$

${\displaystyle -}$	${\displaystyle x^4+\phantom{\mathrm{}}{x}^3+2x^2-x+3}$									${\displaystyle x^2+2x+3}$
	${\displaystyle x^4+2x^3+3x^2}$									${\displaystyle x^2-x+1}$
	${\displaystyle \phantom{}-}$	${\displaystyle -x^3-\phantom{\mathrm{}}{x}^2-x+3}$
		${\displaystyle -x^3-2x^2-3x}$
	${\displaystyle x^2+2x+3}$

3. Вычитаем в столбик из многочлена ${\displaystyle x^2+2x+3}$ многочлен ${\displaystyle 1\cdot (x^2+2x+3)=x^2+2x+3:}$

${\displaystyle -}$	${\displaystyle x^4+\phantom{\mathrm{}}{x}^3+2x^2-x+3}$									${\displaystyle x^2+2x+3}$
	${\displaystyle x^4+2x^3+3x^2}$									${\displaystyle x^2-x+1}$
	${\displaystyle \phantom{}-}$	${\displaystyle -x^3-\phantom{\mathrm{}}{x}^2-x+3}$
		${\displaystyle -x^3-2x^2-3x}$
				${\displaystyle \phantom{{}^{\mathrm{}}}-}$		${\displaystyle x^2+2x+3}$
						${\displaystyle x^2+2x+3}$
	${\displaystyle 0}$

В итоге получаем ${\displaystyle 0,}$ процесс деления закончен.

Таким образом,

${\displaystyle -}$	${\displaystyle x^4+\phantom{\mathrm{}}{x}^3+2x^2-x+3}$									${\displaystyle x^2+2x+3}$
	${\displaystyle x^4+2x^3+3x^2}$									${\displaystyle x^2-x+1}$
	${\displaystyle \phantom{}-}$	${\displaystyle -x^3-\phantom{\mathrm{}}{x}^2-x+3}$
		${\displaystyle -x^3-2x^2-3x}$
				${\displaystyle \phantom{{}^{\mathrm{}}}-}$		${\displaystyle x^2+2x+3}$
						${\displaystyle x^2+2x+3}$
	${\displaystyle 0}$

${\displaystyle x^4+x^3+2x^2-x+3=(x^2+2x+3)\cdot \left({\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}-\mathbf{x}+\mathbf{1}\right)\mathrm{.}}$