Смежные и вертикальные углы. Их свойства

В заметке "Виды углов", мы выяснили, что в зависимости от величины градусной меры угла, различают острые, прямые, тупые и развернутые углы.

     Это была классификация по градусной мере угла. Сегодня рассмотрим виды углов, отличающихся от других расположением своих сторон.

На рисунке изображены два угла:  Ð АOС  и  Ð СOВ. Луч OС является как стороной одного, так и другого угла. Лучи OА и OВ – другие стороны углов – составляют прямую линию. Для таких углов в математике есть специальное название.

Два угла, у которых имеется общая сторона, а две другие составляют прямую, называются СМЕЖНЫМИ.

Будьте внимательны при работе со смежными углами! 

    Изображённые на рисунке углы ADB и BDC не являются смежными. Хотя они и имеют общую сторону DB, но две другие стороны DA и DC не образуют прямую. По той же причине углы KNL и LNM нельзя назвать смежными.

     Стороны углов EPF и GPH образуют прямую (лучи PE и PH), но эти углы не имеют общей стороны и поэтому не являются смежными. Тем не менее, для этих углов можно указать смежные: для угла EPF смежным является угол FPH, а для угла GPH — угол EPG.

     Смежные углы обладают замечательным свойством: поскольку одна сторона у них общая, а две другие образуют прямую, то сумма этих углов равна развёрнутому углу. А градусная мера развёрнутого угла равна 180°.

Значит, СУММА СМЕЖНЫХ УГЛОВ равна 180°.
ÐАОС + ÐСОВ = 180°.
(Убедиться в этом поможет Динамическая модель. Передвигайте стрелку, меняйте значения углов и наблюдайте за результатом)

     Угол, смежный с прямым углом, тоже прямой угол; смежный с острым углом - тупой; смежный с тупым углом - острый угол.

     

    Посмотрите на картинку слева. На нем две пересекающиеся прямые образуют две пары углов с общей вершиной в точке О так, что стороны одного угла, являются продолжением сторон другого. 


Такие углы называются ВЕРТИКАЛЬНЫМИ.  ВЕРТИКАЛЬНЫЕ углы РАВНЫ. 

ÐАОВ = ÐCOD
Углы АОС и ВОD также являются равными вертикальными углами.

(Понаблюдайте за величиной вертикальных углов на динамической модели)

     А теперь, примените полученные знания при нахождении недостающего угла, занимаясь с тренажерами.

     Здесь потребуется найти значение неизвестного вертикального угла

     Здесь придется определить какой угол неизвестен: смежный или вертикальный и найти его.

     

     Примените свойство углов, о том, что градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами через вершину данного угла при вычислении градусной меры неизвестных углов.