Степени с натуральным показателем. Интерактивные задания

    Попробуйте, глядя на эту схему, вспомнить и сформулировать основные свойства степеней с натуральным показателем, а затем применить свои знания на практике, выполняя интерактивные задания, работая с тренажерами. Отвечайте на вопросы и вводите ответы в желтые кружочки. Если ответ правильный, кружок превратится в зеленого цвета прямоугольник, в противном случае - в красный. Если не знаете ответа, посмотрите правильное решение: это средняя серая кнопка в нижней части экрана. Если вы хотите, получать награды и бонусы, то необходимо пройти регистрацию на сервере.
 Тесты расположены по мере возрастания трудности, предлагаемых заданий 

 Во первом задании вам предстоит продемонстрировать, как вы можете применять на практике правила выполнения действий со степенями: умножение, деление, возведение в степень.
   Кликнув по картинке, вы переходите на первый уровень тренажера. Для выбора второго и третьего уровней переходите по ссылкам ниже: Будьте внимательны со знаками!
         Уровень 2    Уровень 3  

     С помощью этих тренажеров, используя свойства степеней с натуральным показателем, необходимо вычислить результат.

Уровень 2

Признаки подобия треугольников

   Чтобы доказать, что треугольники подобны необходимо проверить выполняется ли шесть равенств: три равенства соответствующих углов и три равенства пропорциональности сходственных сторон. Это достаточно трудоемкая задача. Но, оказывается, что ее можно значительно упростить, если воспользоваться признаками подобия треугольников.

Признаки подобия треугольников

Название признака	Рисунок	Формулировка признака
I признак  подобия треугольников  по двум углам  (УУ)		Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
II признак  подобия треугольников  по двум сторонам и углу между ними (СУС)		Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
III признак подобия треугольников  по трём сторонам  (ССС)		Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник. подобный данному
   
   
   
2. Треугольники, образованные пересекающимися секущими при двух параллельных прямых 
   
   
   
3. Треугольники, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. 
   
   
   
4. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

     Научиться находить подобные треугольники и определять, по какому признаку они подобны можно с помощью этого тренажера

Подобные треугольники.

     Что такое равные треугольники, более или менее понятно всем: если их  наложить друг на друга, то они полностью совпадут. А вот что такое подобные?

   Давайте посмотрим на рисунки, расположенные ниже. Что у них общего? Все матрешки похожи друг на друга: все они одинаковой формы, на них насен один и тот же рисунок, а отличаются они только размерами. Тоже самое можно сказать и про треугольники - форма одинаковая, а размеры разные. Фигуры одной формы, но разных размеров в математике называют подобными.

      

     Прослушай объяснение здесь     

      Итак:

ПОДОБНЫМИ НАЗЫВАЮТСЯ ТРЕУГОЛЬНИКИ, ЕСЛИ У НИХ ВСЕ УГЛЫ РАВНЫ, А СТОРОНЫ ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫ

     Что значит подобие треугольников? Это значит, что подобные треугольники получаются сжатием или растяжением исходного треугольника. При этом соответствующие углы у них равны, а стороны находятся в прямой пропорциональности. Так, каждая из сторон треугольника АВС (на рисунке ниже), в два раза больше соответствующих сторон треугольника А₂В₂С₂, а стороны треугольника А₁В₁С₁ в три раза больше соответствующих сторон треугольника А₂В₂С_{2, значит стороны треугольников пропорциональны}

     Итак, на рисунке три подобных треугольника: DА₂В₂С₂~DАВС~DА₁В₁С₁. Соответствующие углы у них равны, а соответствующие стороны находятся в одном отношении друг к другу.

 То число раз, в которое отличаются стороны подобных треугольников,
называются коэффициентом подобия и, обычно, обозначается  с помощью буквы k.  

     Стороны, лежащие против равных углов называются сходственными.                Решая задачи, важно правильно определить сходственные стороны, чтобы верно записать пропорциональность сторон. При этом нужно быть очень внимательным, тем более, что треугольники, как  на чертеже справа, могут быть расположены произвольным образом.  
                                                    

     Здесь треугольники ABC и EDF - подобны, (называя подобные треугольники, следим, чтобы перечисление вершин соответствовало равным углам), поэтому стороны AC и ЕF, AB и ED, BC и FD - сходственные, и, следовательно, пропорциональные.                                                                    Свойства подобных треугольников издревле широко применяются на практике для измерения расстояния до недоступных объектов, для измерения высоты предмета или ширины водоема, при проведении строительных или геодезических работ.

     Такая популярность объясняется тем, что у подобных треугольников пропорциональны не только сходственные стороны, но и другие сходственные линейные отрезки и величины, такие как высоты, медианы, биссектрисы, радиусы вписанной и описанной окружности, периметр. А площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
   
      А сейчас, кликните по картинке ниже и попробуйте применить полученные знания при решении задач на сайте "Оценок нет!"