Вынесение одночлена за скобки

      Прежде чем сформулировать правило вынесения за скобки общего множителя, давайте вспомним, что многочлен - это алгебраическая сумма одночленов, а одночлен, в свою очередь, это произведение числа и степеней переменных. Вот среди этих чисел или степеней переменных и могут встретиться одинаковые общие множители, которые можно будет вынести за скобки. Так на рисунке мы видим три одночлена с общим множителем a·b. Если из этих одночленов составить многочлен 6a³b²c⁵ + 2a²bd - 3abc², то за скобки можно вынеси одночлен ab. При этом каждое слагаемое делится на выносимый множитель. 
Получим 6a³b²c⁵ + 2a²bd - 3abc² = ab(6a²bc⁵ + 2ad - 3c²).

С помощью смайликов составим схему, поясняющую процесс вынесения общего множителя за скобки:

Как видим, вынесение общего множителя за скобки осуществляется на основе распределительного закона умножения: ab + ac = a(b + c). 

 

Давайте рассмотрим, как проводить вынесение общего множителя за скобки, на конкретных примерах. Пример 1. 14a — 21b Начинаем с поиска общего множителя. Сначала ищем общий множитель среди чисел. Наибольшее число, на которое делится и 14, и 21 - это 7. Переменные a и b разные, общего множителя у них нет. Таким образом, общий множитель - 7. Вынести за скобки общий множитель - значит, поделить на этот множитель каждое слагаемое, стоящее в скобках. Делим на 7 сначала 14, затем 21.
Имеем: 14a - 21b = 7(2a - 3b).

Пример 2. 5у² + 10у И число 5, и число 10 делятся на 5, следовательно, общий множитель для чисел - пять. Из степеней у² и у выносим за скобки степень с меньшим показателем, то есть у (показатель 1 не пишем). Таким образом, в этом примере общий множитель равен 5у. Выносим его за скобки: при этом каждое слагаемое, стоящее в скобках, делим на этот множитель. Отдельно делим числа 5 и 10 на 5, отдельно — степени у² и у на у.
Получаем 5у² + 10у=5у(у + 2).

     Пример 3.      - 12a⁴b³c + 18a³b³c³ - 30a³b²c²

     Рассмотрим коэффициенты одночленов. Наибольшее число, на которое делятся числа 12, 18 и 30 - это 6. Поскольку первое слагаемое со знаком «-»,  выносим минус за скобки. При этом все знаки в скобках меняются на противоположные.

     Среди степеней a наименьшая a³.

     Среди степеней b - b².

     Среди степеней c - с в первой степени (пишем просто c).

     Таким образом, общий множитель  — это - 6a³b²c. Выносим его за скобки.

     Каждое слагаемое, стоящее в скобках, делим на этот множитель. При этом отдельно делим число на число, отдельно — степени с одинаковыми основаниями (показатели при этом вычитаются:

    12 : 6 = 2,  a⁴ : a³ = a,  b³ : b² = b,  c : c = 1,

    12a⁴b³c : 6a³b²c = 2ab;

    18 : 6 = 3,  a³ : a³ = 1,  b³ : b² = b,  c³ : c = c²,

    18a³b³c³ : 6a³b²c = 3bc²;

    30:6 = 5,   a³ : a³ = 1,   b² : b² = 1,   c² : c = c,

    30a³b²c² : 6a³b²c = 5c.

        В итоге: -12a⁴b³c + 18a³b³c³ - 30a³b²c² = - 6a³b²c·(2ab - 3bc² + 5c).

     А теперь сформулируем правило вынесения одночлена за скобки.

     Обратите внимание, что слагаемых в скобках после вынесения общего множителя должно быть столько, сколько в исходном многочлене.

И еще, старайтесь всегда после получения результата устно сделать проверку умножением, тогда вы никогда не допустите ошибку.

     И, в заключение, три интерактивных тренажера, чтобы отработать полученные знания на практике.

     Первый

      Второй тренажер немножко посложнее.

     Третий тренажер включает в себя теорию, практику и контрольное задание: