Счет на лету

     Отличная новость от сайта Учи.ру! на сайте появилась увлекательная обучающая игра по математике «Счёт на лету»! 

     Хотите считать быстро, хотите с пользой провести время за компьютером, стать чемпионом быстрого устного счета, тогда заходите почаще на эту страничку и с удовольствием тренируйтесь. Приглашаю  вас попробовать свои силы. Удачи!

Учимся вычислять логарифмы

     Продолжаем разбираться с логарифмами. Вам предлагается выполнить четыре задания, вычисляя логарифмы, пользуясь их определением и основным тригонометрическим тождеством. Задания лучше выполнять по-порядку, т.к. они идут по возрастанию сложности. В тренажере предусмотрена возможность делать заметки прямо в кадре. Успехов!

Вычисляем логарифмы

     После того, как мы разобрали определение логарифма, перейдем к их непосредственному вычислению. Все, что для этого нам нужно, это помнить, что как называется, знать таблицу умножения и уметь возводить число в степень.

    Допустим, нам надо вычислить log24 - вспоминаем, что логарифм это степень в которую нужно возвести основание логарифма, т.е. в нашем случае 2, чтобы получить число 4. Очевидно, что это 2. А раз 2² = 4, то и log24 = 2. Аналогично, log5125 = 3, т.к. 5³ = 125.
Потренируйтесь вычислять логарифмы с помощью тренажера.

 
Если у вас все получается, то попробуйте вычислить за одну минуту целых 40 логарифмов . Нажимайте на зеленую кнопку и вводите ответы в появившееся текстовое поле. Новый пример появляется только в случае вашего верного ответа.

Освоив принцип вычисления простых логарифмов можно переходить к более сложным примерам. Но перед этим, давайте вспомним, что операцию извлечения корня можно записать в виде степени с дробным показателем

. 

Воспользовавшись этим равенством, вычислим log93. 
Т.к. , то log93 = 1/2 = 0,5.
Иногда бывает сложно быстро подобрать ответ. В этом случае поступают следующим образом: Пусть нам необходимо вычислить log84. Обозначим log84 = х. По определению логарифма - . Т.к. 8 = 2³, а 4 = 2², то 23х = 2², откуда, решая показательное уравнение, будем иметь 3х = 2 и х = 2/3. Значит, log84 = 2/3.
Для решения еще одного типа логарифмов потребуется применить определение степени с отрицательным показателем:

.
Вычислим .
Заметим, что . Таким образом,

А теперь поработайте с тренажером khanacademy, и убедитесь, что вычислять логарифмы совсем не сложно.

     

      Чтобы окончательно убедиться, что тема освоена полностью, пройдите тест.

Что такое логарифм.

     Понятие логарифма многим кажется непонятным и сложным. На самом же деле все достаточно очевидно. Это просто другая, непривычная нам запись числа. Но, давайте разберемся по порядку.

     Предположим, что нам надо найти решение показательного уравнения 3x = 27. Для этого спросим себя: "В какую степень надо возвести 3, чтобы получить 27?" решаем методом подбора: три в первой - нет, три во второй - нет, три в третей - ДА!. Значит, тройку нужно возвести в третью степень, чтобы получить 27. Поэтому решением данного уравнения будет число три: x = 3.

А теперь попробуем решить другое уравнение 3x = 10. Здесь нам уже не удастся так просто подобрать красивое решение. Понятно, что x = 2, будет мало, а x = 3 будет много. Можно, конечно попробовать поискать приближенное решение. Но математики поступили по-другому. Они придумали особую запись числа для решения такого вида показательных уравнений и назвали их логарифмами. В нашем случае, решение уравнения 3x = 10 можно записать в виде log310 = x, то есть x - это число, в которое надо возвести 3, чтобы получить 10.

Теперь более общая запись: logab = c Читается так: «Логарифм по основанию a от b равен c», и означает: «Чтобы получить число b , нужно число a возвести в степень c»:

    

     

Итак: 

Логарифмом положительного числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число b

     Выражение 2³ = 8 
можно также записать в виде log28 = 3 . 
Читается это так: "Логарифм восьми по основанию два равен трем" или "Логарифм по основанию два от восьми равен трем".     
     Проанализируйте схему справа и постарайтесь разобраться с указанными стрелками переходами.

     Кстати, если вы внимательно посмотрите, то заметите, что и у степени числа и у логарифма основание всегда находится «ВНИЗУ». Легко запомнить правда? А вот «вверху», у степени находится ее показатель, а у логарифма – аргумент.

     Чтобы хорошо запомнить определение логарифма, предлагаю вам поработать с тренажером, расположенными ниже. Просто перетягивайте мышкой нужные цифры в подходящее поле. Полезно всякий раз проговаривать определение логарифма, это пригодится позднее при решении уравнений.

Logarithms

Применяем свойства подобных треугольников при решении задач

     Разобравшись с тем, какие треугольники называются подобными и повторив признаки подобия треугольников, можно приступать к решению задач. Два новых тренажера помогут вам выяснить, насколько хорошо усвоена данная тема.
     В первом предлагается восемь несложных примеров. Второй тренажер содержит более сложные задачи, но если вы сможете решить и их, значит проблем нет.  Можно смело сказать себе "Молодец!"
     Дерзайте!

 

Учим таблицу производных

     Чтобы хорошо запомнить таблицу производных, можно позаниматься с этим тренажером. Необходимо открыть все карточки, находя нужные пары, за минимальное время.

Вынесение за скобки общего множителя многочлена

       Прежде чем сформулировать правило вынесения за скобки общего множителя, давайте вспомним, что многочлен - это алгебраическая сумма одночленов, а одночлен, в свою очередь, это произведение числа и степеней переменных. Вот среди этих чисел или степеней переменных и могут встретиться одинаковые общие множители, которые можно будет вынести за скобки. 

      Так на рисунке мы видим три одночлена с общим множителем a·b. Если из этих одночленов составить многочлен 6a³b²c⁵ + 2a²bd - 3abc², то за скобки можно вынеси одночлен ab. При этом каждое слагаемое делится на выносимый множитель.

Получим 6a³b²c⁵ + 2a²bd - 3abc² = ab(6a²bc⁵ + 2ad - 3c²).

С помощью смайликов составим схему, поясняющую процесс вынесения общего множителя за скобки:

Как видим, вынесение общего множителя за скобки осуществляется на основе распределительного закона умножения: ab + ac = a(b + c). 

 

Давайте рассмотрим, как проводить вынесение общего множителя за скобки, на конкретных примерах. Пример 1. 14a — 21b Начинаем с поиска общего множителя. Сначала ищем общий множитель среди чисел. Наибольшее число, на которое делится и 14, и 21 - это 7. Переменные a и b разные, общего множителя у них нет. Таким образом, общий множитель - 7. Вынести за скобки общий множитель - значит, поделить на этот множитель каждое слагаемое, стоящее в скобках. Делим на 7 сначала 14, затем 21.
Имеем: 14a - 21b = 7(2a - 3b).

Пример 2. 5у² + 10у И число 5, и число 10 делятся на 5, следовательно, общий множитель для чисел - пять. Из степеней у² и у выносим за скобки степень с меньшим показателем, то есть у (показатель 1 не пишем). Таким образом, в этом примере общий множитель равен 5у. Выносим его за скобки: при этом каждое слагаемое, стоящее в скобках, делим на этот множитель. Отдельно делим числа 5 и 10 на 5, отдельно — степени у² и у на у.
Получаем 5у² + 10у=5у(у + 2).

     Пример 3.      - 12a⁴b³c + 18a³b³c³ - 30a³b²c²

     Рассмотрим коэффициенты одночленов. Наибольшее число, на которое делятся числа 12, 18 и 30 - это 6. Поскольку первое слагаемое со знаком «-»,  выносим минус за скобки. При этом все знаки в скобках меняются на противоположные.

     Среди степеней a наименьшая a³.

     Среди степеней b - b².

     Среди степеней c - с в первой степени (пишем просто c).

     Таким образом, общий множитель  — это - 6a³b²c. Выносим его за скобки.

     Каждое слагаемое, стоящее в скобках, делим на этот множитель. При этом отдельно делим число на число, отдельно — степени с одинаковыми основаниями (показатели при этом вычитаются:

    12 : 6 = 2,  a⁴ : a³ = a,  b³ : b² = b,  c : c = 1,

    12a⁴b³c : 6a³b²c = 2ab;

    18 : 6 = 3,  a³ : a³ = 1,  b³ : b² = b,  c³ : c = c²,

    18a³b³c³ : 6a³b²c = 3bc²;

    30:6 = 5,   a³ : a³ = 1,   b² : b² = 1,   c² : c = c,

    30a³b²c² : 6a³b²c = 5c.

        В итоге: -12a⁴b³c + 18a³b³c³ - 30a³b²c² = - 6a³b²c·(2ab - 3bc² + 5c).

     А теперь сформулируем правило вынесения одночлена за скобки.

     Обратите внимание, что слагаемых в скобках после вынесения общего множителя должно быть столько, сколько в исходном многочлене.

И еще, старайтесь всегда после получения результата устно сделать проверку умножением, тогда вы никогда не допустите ошибку.

     И, в заключение, три интерактивных тренажера, чтобы отработать полученные знания на практике.

     Первый

      Второй тренажер немножко посложнее.

     Третий тренажер включает в себя теорию, практику и контрольное задание: