Равнобедренный треугольник

     Из всего многообразия треугольников, некоторые из них пользуются особым вниманием и любовью математиков. Это прямоугольные и равнобедренные треугольники. Чем же они отличаются от остальных и какими свойствами обладают? 

     Сначала поговорим о равнобедренном треугольнике. Дадим ему определение:

     Как видите, у равнобедренного треугольника есть особые названия сторон: боковая - это одна из равных сторон, и основание - это третья сторона. Будьте внимательны при их определении, потому что треугольники могут быть расположены по разному:

       

     Вершиной равнобедренного треугольника является та вершина, которая лежит напротив основания. В нашем случае - это точка В. Угол, лежащий напротив основания - угол при вершине равнобедренного треугольника. Два другие угла — углы при основании равнобедренного треугольника. Углы при основании равнобедренного треугольника всегда острые

Чем же так хорош равнобедренный треугольник и что отличает его от остальных собратьев. Об этом нам говорят

     Но теперь возникает другой вопрос: А как узнать, будет ли треугольник равнобедренным? Или, как говорят математики, каковы признаки равнобедренного треугольника? Вот они:

1. Если два угла в треугольнике равны, то этот треугольник равнобедренный.
2. Если в треугольнике совпадает любая пара отрезков из тройки: медиана, биссектриса, высота, то он является равнобедренным.

     Посмотреть доказательства приведенных теорем и порешать задачи можно на сайте "Школьный помощник" (помните, что для этого вы должны пройти регистрацию).

    Проверить насколько хорошо усвоена данная тема, потренироваться в решении задач и пройти мини тест, можно работая с данным тренажером

Встанем на защиту - победим врага

     Поздравляю сильную половину человечества с наступающим праздником и предлагаю испытать насколько быстры и сообразительны наши будущие защитники. Вам предлагается отразить все злодейские атаки и, конечно же, спасти Землю от незваных пришельцев. Сумеете?
        Играть можно не только мальчикам.

     Вначале выберите игру, затем уровень сложности, а потом решайте примеры и вводите ответы на клавиатуре, расположенной в правой части экрана. Не забывайте нажимать клавишу ввода. 

              

Находим углы

     Используя свои знания о смежных и вертикальных углах, об углах при параллельных прямых, о сумме углов в треугольнике, попробуйте найти на чертеже все неизвестные углы. Будет лучше, если вначале вы повторите теорию. Можно выбирать различные уровни и идти от простого к сложному. Надеюсь, что у вас все получится.

              

Операции над одночленами

   
     От знакомства с одночленами прейдем к операциям над ними. Не волнуйтесь, вам не придется одевать халат и брать в руки скальпель, речь пойдет об арифметических операциях сложения, умножения и приведения подобных слагаемых.

Умножение одночленов

     Очень часто приходится один одночлен умножать на другой. Например, 

     Мы видим, что уже получился новый одночлен. Остается только записать его в стандартном виде. 

     Перемножаем все коэффициенты:     

                                                           

      Перемножаем степени с одинаковым основанием (при этом показатели степеней складываются): 

       Записываем коэффициент впереди, а степени за ним в алфавитном порядке: 

 Таким образом, при умножении одночлена на одночлен, действует следующее ПРАВИЛО:

числовые множители перемножаются между собой,  одинаковые переменные перемножаются между собой, при этом их степенные показатели складываются,  записывается произведение одночленов в стандартном виде – на первом месте находится числовой множитель, далее – буквенные переменные

Деление одночлена на одночлен

      Деление одночлена на одночлен выполняется аналогично операции умножения. Выполним деление: 

При делении нужно: разделить коэффициенты один на другой: поделить степени с одинаковыми основаниями (при этом показатели степеней вычитаются) записать результат в стандартном виде

Возведение одночлена в степень 

      Чтобы возвести одночлен в степень, необходимо каждый множитель одночлена возвести в степень 

Вычисление значения одночлена 

     Поскольку одночлен это алгебраическое выражение, состоящее из буквенных переменных, которые могут принимать конкретные числовые значения, то мы можем это значение вычислить. То есть, следующая операция над одночленами состоит в вычислении их конкретного числового значения.

       Рассмотрим пример. Пусть задан одночлен:

                                         

    Данный одночлен уже приведен к стандартному виду, его коэффициент равен единице, а буквенная часть 

   Некоторые алгебраическое выражение не всегда можно вычислить, то есть переменные, которые в него входят, могут принимать не любое значение. Но в случае одночлена, входящие в него переменные могут быть любыми, это является особенностью одночлена. 

     Итак, пусть в заданном примере требуется вычислить значение одночлена при ,    ,     ,     .

     Выполним действия, воспользовавшись тем фактом, что  в любой четной степени равно единице, тогда

 ;

То есть, заданный одночлен при заданных значениях буквенных переменных будет принимать рассчитанное нами значение.

    Попробуйте выполнить сначала задания с самопроверкой, а затем пройти тест, чтобы проверить, как вы научились выполнять операции над одночленами

     

         

Приведение подобных слагаемых

   Мы с вами разобрали такие операции над одночленами, как умножение, деление и возведение в степень. У вас , естественно возникает вопрос: "А где же сложение и вычитание?"

     Дело в том, что складывать и вычитать можно только подобные одночлены и эта операция называется приведение подобных слагаемых.

Два одночлена, приведённых к стандартному виду, называются подобными, если они совпадают или же отличаются только числовым коэффициентом.

    Как видим на картинке, подобные слагаемые, например, первый и третий, могут полностью совпадать, а у остальных совпадают буквенные части, и различаются только коэффициенты.
     А вот одночлены 5а и 5с, не являются подобными, так как их буквенные части не совпадают. Одночлены  и  также не являются подобными, их буквенные части отличаются степенями переменной а.
   
     Попробуйте находить все подобные слагаемые к предложенному одночлену с помощью тренажера, расположенного ниже.

     После того, как вы научились находить подобные слагаемые, давайте разбермся с операцией их приведения.

     Сложим подобные слагаемые:  

     Можем сфор­му­ли­ровать пра­ви­ло сло­же­ния од­но­чле­нов:

Для того чтобы по­лу­чить сумму по­доб­ных од­но­чле­нов необ­хо­ди­мо сло­жить их ко­эф­фи­ци­ен­ты, а бук­вен­ную часть до­пи­сать такую же, как у ис­ход­ных сла­га­е­мых.

Рас­смот­рим при­ме­ры:

       1) 

       2) 

Перейдем к правилу вычитания одночленов. Рассмотри примеры:

       1) 

Правило вычитания подобных одночленов аналогично правилу сложения: буквенную часть переписать без изменений, а коэффициенты вычесть, при чем вычесть в правильном порядке. Для нашего примера:

     2) 

     3) 

     Вывод: складывать и вычитать можно любые, но только подобные одночлены, для этого нужно складывать или вычитать их коэффициенты, а буквенную часть переписывая в исходном виде. Не подобные одночлены ни складывать, ни вычитать нельзя!

     А теперь попробуйте решить задачи на приведение подобных слагаемых:

Устный счет. Давайте ставить рекорды

     Сервис Mathrun позволит улучшить не только свои вычислительные навыки в игровой форме, но и выработать навыки самоконтроля. Для этого надо только выполнить вычисление и в случае верного равенства нажать левую клавишу управления курсором. Если же ответ неверный - правую. Для начала игры надо нажать клавишу Enter, для перехода на новый уровень - пробел. 

     

    Примеры предлагаются на все действия, в ответе могут получится и отрицательные числа. Можно посмотреть статистику рекордов. 

 Только надо учесть, что для возможности воспроизведения игры страница должна отражаться на языке оригинала. 

А вот еще один похожий тренажер, в котором надо за минимально возможное время проверить правильность решения двадцати примеров MathSprint

Материал взят с сайта Такая разная математика

Углы треугольника

Углы треугольника бывают внутренние и внешние.

     Внутренние углы треугольника - это углы, образованные парами сторон. 

Попробуй поработать с моделью и догадаться, чему равна сумма внутренних углов треугольника

Легко доказать, что в сумме эти углы равны 180°, то есть, если их вершины совместить,  то получится развернутый угол.

     Докажем, что сумма внутренних углов треугольника равна 180°.

     Для доказательства этого факта нам понадобится параллельная прямая

Нарисуем треугольник, а затем проведем прямую из его вершины, параллельную стороне.  Возникли два новых угла. Посмотри доказательство на подвижном чертеже

По свойству углов при параллельных прямых и секущей следует, что соответственные углы равны, накрест лежащие углы равны. Получилось, что углы a, b и с в сумме дают 180°.

     С помощью интерактивной модели, ссылка на которую расположена ниже, вы можете убедиться в справедливости доказанного утверждения. Перемещайте вершины треугольника и наблюдайте за величиной суммы внутренних углов треугольника. Убедитесь в том, что она всегда остается равной 180°.

   Интерактивная модель

     Внешний угол треугольника при данной вершине — это угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине. Чтобы получить внешний угол надо продолжить любую сторону треугольника. Так Ð1 внешний угол при вершине С, а углы 2 и 3 - внешние углы при вершине В. Вообще говоря, у треугольника 6 внешних углов: по два при каждой вершине, но, поскольку они равны, как вертикальные углы, то говоря о внешнем угле можно выбирать любой из них

     Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Убедиться в справедливости этой теоремы можно с помощью интерактивной модели

    А теперь попробуйте испытать свои силы, выполняя интерактивное задание, вычисляя углы треугольника